Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂的外角平分線所在的直線為l，過F₁，F(xiàn)₂分別作l的垂線，垂足分別為R，S，當(dāng)P在橢圓上運(yùn)動時，R，S所形成的圖形的面積為πa²．

Answer 1

分析 延長F₂S交F₁P的延長線于Q，可證得PQ=PF₂，且S是PF₂的中點(diǎn)，由此可求得OS的長度是定值，即可求點(diǎn)S的軌跡的幾何特征．

解答 解：由題意，P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為S，
延長F₂S交F₁P的延長線于Q，得PQ=PF₂，
由橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PQ=QF₁=2a，
連接OS，知OS是三角形F₁F₂Q的中位線，
∴OS=a，即點(diǎn)S到原點(diǎn)的距離是定值a，由此知點(diǎn)S的軌跡是
以原點(diǎn)為圓心、半徑等于a的圓．
同理可得，點(diǎn)R的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、半徑等于a的圓．
故點(diǎn)R，S所形成的圖形的面積為πa²．

點(diǎn)評 本題考查求軌跡方程，關(guān)鍵是證出OS是中位線以及利用題設(shè)中所給的圖形的幾何特征求出QF₁的長度，進(jìn)而求出OS的長度，再利用圓的定義得出點(diǎn)M的軌跡是一個圓，屬于難題．