Question

18．已知a，b為正實(shí)數(shù)．
（1）若$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=a+2b，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值；
（2）若a+b≤a²b，a+b≤ab²，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=a+2b，a，b為正實(shí)數(shù)，可得$（\frac{1}{a}+\frac{1}）^{2}$=$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$（a+2b）=3+$（\frac{a}+\frac{2b}{a}）$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由a+b≤a²b，a+b≤ab²，可得2（a+b）≤ab（a+b），化為2≤ab．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=a+2b，a，b為正實(shí)數(shù)，
∴$（\frac{1}{a}+\frac{1}）^{2}$=$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$（a+2b）=3+$（\frac{a}+\frac{2b}{a}）$≥3+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{2b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}=\frac{2b}{a}}\\{\frac{1}{a}+\frac{1}=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$≥$\sqrt{2}$+1，其最小值為$\sqrt{2}$+1．
（2）∵a+b≤a²b，a+b≤ab²，
∴2（a+b）≤ab（a+b），化為2≤ab．
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\sqrt{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴a+b的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．