Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=9，a_n=a_n+1+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）計(jì)算|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₀|．

Answer 1

分析 （1）由a_n=a_n+1+2，可得a_n+1-a_n=-2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n．利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S_n=-n²+10n．令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．當(dāng)n≤5時(shí)，|a_n|=a_n，T_n=S_n．當(dāng)n≥6時(shí)，|a_n|=-a_n，T_n=S₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n．

解答 解：（1）∵a_n=a_n+1+2，∴a_n+1-a_n=-2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為9，公差為-2．
∴a_n=9-2（n-1）=11-2n．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n．
S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=-n²+10n．
令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，|a_n|=a_n，
T_n=S_n=-n²+10n．
當(dāng)n≥6時(shí)，|a_n|=-a_n，
T_n=S₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=2×25-（-n²+10n）
=n²-10n+50．
∴T₁₀=10²-10×10+50
=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值數(shù)列求和問(wèn)題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．