Question

9．如圖，在五棱錐P-ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=2AE=4．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）若三角形PAB是等腰三角形，求三棱錐D-PBE的體積；
（3）求直線PB與平面PCD所成角的最大值．

Answer 1

分析 （1）要證平面PCD⊥平面PAC，只需證明平面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PA、AC即可；
（2）求出△BDE的面積，PA=AB=2$\sqrt{2}$，利用體積公式，即可求三棱錐D-PBE的體積；
（3）過點A作AH⊥PC于H，說明∠PBO為所求角，設(shè)PA=x，然后解三角形求直線PB與平面PCD所成角的最大值．

解答 （1）證明：因為∠ABC=45°，AB=2$\sqrt{2}$，BC=4，
所以在△ABC中，由余弦定理得：AC²=8+16-2×2$\sqrt{2}$×4×cos45°=8，解得AC=2$\sqrt{2}$，
所以AB²+AC²=8+8=16=BC²，即AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥AB，
又PA∩AC=A，所以AB⊥平面PAC，又AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，
又因為CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAC；
（2）解：由（1）知CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，
△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，所以AC邊上的高為2$\sqrt{2}$，
又DE=$\sqrt{2}$，所以△BDE的面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=2，
因為三角形PAB是等腰三角形，PA⊥平面ABCDE，
所以PA=AB=2$\sqrt{2}$，
所以三棱錐D-PBE的體積為$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
（3）解：由（1）知平面PCD⊥平面PAC，
所以在平面PAC內(nèi)，過點A作AH⊥PC于H，
則AH⊥平面PCD，又AB∥CD，AB?平面PCD內(nèi)，所以AB平行于平面PCD，

所以點A到平面PCD的距離等于點B到平面PCD的距離，過點B作BO⊥平面PCD于點O，
則∠BPO為所求角，且AH=BO，
設(shè)PA=x，則AH=$\frac{2\sqrt{2}x}{\sqrt{8+{x}^{2}}}$，
因為PB=$\sqrt{8+{x}^{2}}$
所以sin∠BPO=$\frac{2\sqrt{2}x}{8+{x}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{8}{x}+x}$≤$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=2$\sqrt{2}$時，取等號，即∠BPO=30°，
所以直線PB與平面PCD所成角的最大值為30°．

點評 本題主要考查空間中的基本關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的判定以及線面角和幾何體體積的計算，考查識圖能力、空間想象能力和邏輯推理能力．