Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-ax的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y+2=0垂直，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₄的值為（　　）

• A． $\frac{2015}{2016}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013}{2014}$
• D． $\frac{2012}{2013}$

Answer 1

分析 對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線在x=1處的斜率，然后根據(jù)直線垂直時斜率之積為-1的條件，可求，a，代入可求f（n），利用裂項求和即可求．

解答 解：∵f（x）=x²-ax
∴f′（x）=2x-a，
∴y=f（x）的圖象在點A（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2-a，
∵切線l與直線x+3y+2=0垂直，∴2-a=3，
∴a=-1，f（x）=x²+x，
∴f（n）=n²+n=n（n+1），
∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₄=$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）}$+…+$\frac{1}{f（2014）}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故選：B．

點評 本題以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義為載體，主要考查了切線斜率的求解，兩直線垂直時的斜率關(guān)系的應(yīng)用，及裂項求和方法的應(yīng)用，屬于中檔題．