Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）+$\sqrt{3}$cos（x+θ），
（1）若θ=0，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且θ∈（0，π），求θ的值．

Answer 1

分析 化簡可得f（x）=$2sin（x+θ+\frac{π}{3}）$，（1）當θ=0時，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，由x的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）的值域；
（2）要滿足題意只需$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$，結(jié)合θ∈（0，π）可得．

解答 解：化簡可得$f（x）=sin（x+θ）+\sqrt{3}cos（x+θ）$=$2sin（x+θ+\frac{π}{3}）$
（1）當θ=0時，$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴$x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴由正弦函數(shù)的單調(diào)性知$-\frac{1}{2}≤sin（x+\frac{π}{3}）≤1$，
∴f（x）的值域為[-1，2]；
（2）若f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
則只需將f（x）的圖象做適當平移，使得其過原點即可．
∴$sin（θ+\frac{π}{3}）=0$，又θ∈（0，π），則$θ=\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．