Question

19．設函數(shù)f（x）=|2x-1|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式|f（x）-2|≤5的解集；
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式|f（x）-2|≤5，即|2x-1|≤7，即-7≤2x-1≤7，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）由題意可得f（x）+f（x-1）+m≠0 恒成立，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≠-$\frac{m}{2}$恒成立．根據(jù)絕對值的意義求得|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|的最小值為1，可得-$\frac{m}{2}$＜1，由此求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式|f（x）-2|≤5，即-5≤f（x）-2≤5，即-3≤f（x）≤7，即|2x-1|≤7，
即-7≤2x-1≤7，求得-3≤x≤4，故不等式的解集為{x|-3≤x≤4}．
（Ⅱ）若g（x）=$\frac{1}{f（x）+f（x-1）+m}$的定義域為R，則f（x）+f（x-1）+m≠0 恒成立，
即|2x-1|+|2（x-1）-1|≠-m，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≠-$\frac{m}{2}$恒成立．
根據(jù)絕對值的意義，|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|表示數(shù)軸上的x對應點到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$對應點的距離之和，它的最小值為1，
故-$\frac{m}{2}$＜1，求得m＞-2．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．