Question

2．設(shè)a＞b＞0，證明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}$＜$\frac{a-b}$．

Answer 1

分析 a＞b＞0，可得$\frac{a}＞1$，令$\frac{a}$=x＞1，證明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}$＜$\frac{a-b}$．即證明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．分別構(gòu)造函數(shù)：f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答 證明：∵a＞b＞0，∴$\frac{a}＞1$，
令$\frac{a}$=x＞1，
則證明：$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}$＜$\frac{a-b}$．即證明：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
先證明右邊：令f（x）=lnx-x+1，x∈（1，+∞）．
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，
∴函數(shù)f（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴l(xiāng)nx＜x-1成立．
再證明左邊：令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，x∈（1，+∞）．
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，
∴l(xiāng)nx＞1-$\frac{1}{x}$成立．
綜上可得：1-$\frac{1}{x}$＜lnx＜x-1．
即$\frac{a-b}{a}$＜ln$\frac{a}$＜$\frac{a-b}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．