Question

13．（1）判斷并證明函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性；
（2）試寫出f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在（0，+∞）上的單調(diào)區(qū)間（不用證明）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求f（x）=x+$\frac{16}{x}$在區(qū)間[1，8]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)遞增；運(yùn)用單調(diào)性的定義即可得證；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由（2）可得f（x）=x+$\frac{16}{x}$在區(qū)間[1，4]上遞減，在[4，8]上遞增，計(jì)算即可得到最值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x+$\frac{4}{x}$在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)遞增；
證明：設(shè)2＜m＜n，則f（m）-f（n）=（m+$\frac{4}{m}$）-（n+$\frac{4}{n}$）
=（m-n）（1-$\frac{4}{mn}$），
由2＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞4，即為1-$\frac{4}{mn}$＞0，
則f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在區(qū)間（2，+∞）上為增函數(shù)；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞$\sqrt{a}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{a}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則有f（x）的增區(qū)間為（$\sqrt{a}$，+∞），減區(qū)間為（0，$\sqrt{a}$）；
（3）f（x）=x+$\frac{16}{x}$在區(qū)間[1，4]上遞減，在[4，8]上遞增，
即有x=4處取得最小值8；x=1處取得最大值17．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和判斷，以及單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．