Question

1．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）當PA⊥CD，PA=AC，AB=1，PD=2$\sqrt{5}$時，求二面角P-CE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進行證明即可；
（2）建立坐標系求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 （1）證明：延長DC，AB交于點N，連PN．因為∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，
所以C為ND的中點．           
而E為PD中點，所以EC∥PN．                                          
因為EC?平面PAB，PN?平面PAB，
所以EC∥平面PAB．
（2）∵PA⊥CD，PA=AC，AB=1，PD=2$\sqrt{5}$，
∴AC=PC=2，AD=4，
則PA²+AD²=PD²，
即△PAD為直角三角形，
則PA⊥AD，
又∵CD∩AD=D，
∴PA⊥平面ACD，
以C為原點，以CA的反向延長線為x軸，CD為y軸，和PA平行的直線為z軸，
建立空間直角坐標系如圖：
則C（0，0，0），A（-2，0，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），P（-2，0，2），E（-1，$\sqrt{3}$，1），
則$\overrightarrow{CD}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{CP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{CE}$=E（-1，$\sqrt{3}$，1），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面PCD的一個法向量，
則由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-2x-2z=0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x+z=0}\end{array}\right.$，令x=1，則z=-1，
即$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面ACE的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{-x+\sqrt{3}y+z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{z=-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
令y=1，則z=-$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{m}$=（0，1，-$\sqrt{3}$）
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}•\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
即二面角P-CE-A的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題綜合考查空間中線線面平行的判定和空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．