Question

10．如圖，邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BB₁、C₁C的中點，DG=$\frac{1}{3}$DD₁，過E、F、G的平面交AA₁于點H，求A₁D₁到面EFGH的距離．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出A₁D₁到面EFGH的距離．

解答 解：∵邊長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為BB₁、C₁C的中點，
DG=$\frac{1}{3}$DD₁，過E、F、G的平面交AA₁于點H，
∴AH=$\frac{1}{3}$AA₁，∴A₁D₁∥平面EFGH，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A₁（1，0，1），H（1，0，$\frac{1}{3}$），G（0，0，$\frac{1}{3}$），E（1，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{H{A}_{1}}$=（0，0，$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{HG}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{HE}$=（0，1，$\frac{1}{6}$），
設(shè)平面EFGH的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HG}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=y+\frac{z}{6}=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-6），
∴A₁D₁到面EFGH的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{H{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-4|}{\sqrt{37}}$=$\frac{4\sqrt{37}}{37}$．

點評 本題考查直線與平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．