Question

2．在某中學舉行的環(huán)保知識競賽中，隨機抽取x名參賽同學的成績（得分的整數(shù)）進行整理后分成五組，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別為0.30，0.15，0.10，0.05，第二小組的頻數(shù)為40．
（1）求第二小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖，畫出頻率分布折線圖；
（2）若采用分層抽樣的方法，從樣本中隨機取20人，則第三組和第四組各抽取多少人？
（3）在（2）的條件下，從第三組和第四組抽取的人中任選取2人，則她們不在同一組別的概率是多少？

Answer 1

分析 （1）由各小組的頻率之和為1，第一、三、四、五組的頻率分別是0.3，0.15，0.10，0.05，能求出第二小組的頻率和第二小組的小長方形的高，由此可補全頻率分布直方圖（圖陰影部分）和頻率分布折線圖．
（2）由第二小組的頻數(shù)為40，頻率為0.40，由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能求出第三組抽取的人數(shù)和第四組抽取的人數(shù)．
（3）用a₁，a₂，a₃表示第三組抽取的三位學生，第四組抽取的二位學生用b₁，b₂表示，利用列舉法求出所有的基本事件和滿足條件的基本事件，由此能求出第三組和第四組抽取的人中任選取2人，她們不在同一組別的概率．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）因為各小組的頻率之和為1，第一、三、四、五組的頻率分別是0.3，0.15，0.10，0.05，
所以第二小組的頻率為1-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40．…（2分）
因為第二小組的頻率為0.40，
所以落在59.5-69.5的第二小組的小長方形的高=$\frac{頻率}{組距}$=$\frac{0.4}{10}$=0.04，
由此可補全頻率分布直方圖（圖陰影部分）和頻率分布折線圖如右圖所示．…（4分）
（2）因為第二小組的頻數(shù)為40，頻率為0.40，
所以$\frac{40}{x}=0.40$，得x=100（人）．…（6分）
所以第三組抽取的人數(shù)為$\frac{20}{100}×100×0.15=3$（人），
第四組抽取的人數(shù)為$\frac{20}{100}×100×0.10=2$（人）．…（8分）
（3）用a₁，a₂，a₃表示第三組抽取的三位學生，第四組抽取的二位學生用b₁，b₂表示，
則所有的基本事件為：（a₁，a₂）、（a₁，a₃），（a₁，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，a₃）、（a₂，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₁）、（a₃，b₂）、（b₁，b₂），共10種．…（10分）
其中滿足條件的基本事件為：（a₁，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₁）、（a₃，b₂），共6種．…（11分）
所以所求概率為p=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．