Question

橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．

（1）求橢圓E的方程；

（2）已知直線l過點M（﹣，0）且與開口向上，頂點在原點的拋物線C切于第二象限的一點N，直線l與橢圓E交于A、B兩點，與y軸交于D點，若=λ，=μ，且λ+μ=﹣4，求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

　

　

Answer 1

 解：（1）由題意知e==，，

即a=b…（1分）

又以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切，

∴b==1，…（2分）

∴a=，

故橢圓的方程為…（4分）

（2）設(shè)拋物線C的方程為y=ax²（a＞0），直線l與拋物線的切點為N（x₀，ax₀²）

∵y′=2ax，∴切線l的斜率為2ax₀，

∴切線方程為y﹣ax₀²=2ax₀（x﹣x₀），

∵直線l過點M（﹣，0），

∴﹣ax₀²=2ax₀（﹣﹣x₀），

∵點N在第二象限，∴x₀＜0，

解得x₀=﹣1．∴N（﹣1，a）．

∴直線l的方程為y=﹣2ax﹣a…（8分）

代入橢圓方程整理得（1+8a²）x²+8a²x+2a²﹣2=0．

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．

∴x₁+x₂=﹣，x₁x₂=…（10分）

由=λ，=μ，

得λ=，μ=

∴λ+μ=+==﹣4，

∵a＞0，

∴a=

∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=y…（13分）