Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（1）寫(xiě)出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）數(shù)列{a_n}猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）由于a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．可得a₁=2，a₂=λ²+2²，a₃=2λ³+2³，a₄=3λ⁴+2⁴．
（2）由此可猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
∴a₁=2，a₂=$λ{(lán)a}_{1}+{λ}^{2}+（2-λ）×2$=λ²+2²，a₃=$λ{(lán)a}_{2}+{λ}^{3}$+（2-λ）×2²=2λ³+2³，同理可得a₄=3λ⁴+2⁴．
（2）由此可猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即${a}_{k}=（k-1）•{λ}^{k}$+2^k．則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=$λ{(lán)a}_{k}+{λ}^{k+1}$+（2-λ）•2^k=
λ[（k-1）λ^k+2^k]+λ^k+1+（2-λ）•2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立．
由①②可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是：a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查了猜想歸納推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．