Question

9．設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求函數(shù)的最小正周期；
（2）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性得出f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）是T=4的周期函數(shù)．
（2）求解f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
利用周期函數(shù)的性質(zhì)得出f（1）+f（2）+…+f（2015）=503×（1+0-1+0）+1+0-1=0，
求解即可．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故f（x）是T=4的周期函數(shù)，
（2）∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
2015÷4=503×4+3
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=503×（1+0-1+0）+1+0-1=0，
故計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=0

點評 本題考查的知識點是函數(shù)周期性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解方法，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的簡單綜合應用，難度不大，屬于基礎題