Question

14．已知△ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線y²=2x上，拋物線的焦點(diǎn)為F，若|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$，則邊AC的垂直平分線必經(jīng)過點(diǎn)（　�。�

• A． （1，0）
• B． （$\frac{4}{3}$，0）
• C． （$\frac{5}{3}$，0）
• D． （2，0）

Answer 1

分析 由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$．設(shè)線段AC的中點(diǎn)為M（a，b），利用|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列可得：$a=\frac{2}{3}$，由于${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，相減可得：bk_AC=1．線段AC的垂直平分線的方程為：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），即可得出定點(diǎn)．

解答 解：|AF|=${x}_{A}+\frac{1}{2}$，|BF|=$\frac{2}{3}+\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$，|CF|=${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
∵|AF|，|BF|，|CF|為等差數(shù)列，
∴2|BF|=|AF|+|CF|，
∴$\frac{7}{3}$=${x}_{A}+\frac{1}{2}$+${x}_{C}+\frac{1}{2}$，
化為x_A+x_C=$\frac{4}{3}$．
設(shè)線段AC的中點(diǎn)為M（a，b），則$a=\frac{2}{3}$，
∵${y}_{A}^{2}=2{x}_{A}$，${y}_{C}^{2}=2{x}_{C}$，
∴$\frac{（{y}_{A}+{y}_{C}）（{y}_{A}-{y}_{C}）}{{x}_{A}-{x}_{C}}$=2，
∴2bk_AC=2，即bk_AC=1．
∴線段AC的垂直平分線的斜率k=-$\frac{1}{{k}_{AC}}$=-b，
其方程為：y-b=-b（x-$\frac{2}{3}$），
因此必過定點(diǎn)$（\frac{5}{3}，0）$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、焦點(diǎn)弦長公式、線段的垂直平分線方程、“點(diǎn)差法”、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．