Question

10．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知cosB=-$\frac{1}{2}$．
（1）求sinAsinC的取值范圍；
（2）若b=2$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得B=120°，A+C=60°．再利用積化和差公式化簡sinAsinC 為$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$．再根據再根據-60°＜A-C＜60°，利用余弦函數的定義域和值域求得sinAsinC的取值范圍．
（2）由條件利用余弦定理、基本不等式求得ac的最大值，從而求得△ABC面積的最大值的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，由cosB=-$\frac{1}{2}$，可得B=120°，A+C=60°．
∴sinAsinC=$\frac{1}{2}$[cos（A-C）-cos（A+C）]=$\frac{1}{2}$[cos（A-C）-$\frac{1}{2}$]=$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$．
再根據-60°＜A-C＜60°，可得cos（A-C）∈（$\frac{1}{2}$，1），$\frac{1}{2}$cos（A-C）∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$cos（A-C）-$\frac{1}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$），即sinAsinC的取值范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．
（2）若b=2$\sqrt{3}$，由余弦定理可得b²=12=a²+c²-2ac•cosB≥2ac+ac=3ac，
即ac≤4，當且僅當a=c=2時，取等號，故ac的最大值為4，
故△ABC面積為$\frac{1}{2}$ac•sin120°≤$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查積化和差公式、余弦定理、余弦函數的定義域和值域，基本不等式的應用，屬于中檔題．