Question

5．函數(shù)f（x）=cos²x+sinx+a-1，若1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先，化簡函數(shù)解析式，然后，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，最后，求解范圍即可．

解答 解：根據(jù)已知函數(shù)，得
f（x）=-sin²x+sinx+a，
=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+a+$\frac{1}{4}$
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴當(dāng)t=-1時，取得最小值a-2，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$取得最大值為a+$\frac{1}{4}$，
∵1≤f（x）≤$\frac{17}{4}$對一切x∈R恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2≥1}\\{a+\frac{1}{4}≤\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，
∴3≤a≤4，
∴a的取值范圍[3，4]．

點評 本題重點考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、換元法、二次函數(shù)的最值，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．