Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值.

Answer 1

（1）[1，＋∞)；（2）－e.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值和極值等基礎知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力.第一問，先對求導，將函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立，即轉(zhuǎn)化為，配方法得到的最大值，即可得到a的取值范圍；第二問，先對求導，結(jié)合第一問的結(jié)論，知在定義域上是增函數(shù)，且，利用的單調(diào)性，得到的單調(diào)性，從而知當時取得最大值.

試題解析：（Ⅰ）由題意得x＞0，． 1分

由函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)得，f(x)≥0，即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1（x＞0）．

因為－(x－1)2＋1≤1（當x＝1時，取等號），

所以a的取值范圍是[1，＋∞). 5分

（Ⅱ）， 7分

由（Ⅰ）得a＝2時，f(x)＝x－2lnx－＋1

且f(x)在定義域上是增函數(shù)得，又f(1)＝0，

所以，當x∈(0，1)時，f(x)＜0，當x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0． 10分

所以，當x∈(0，1)時，g(x)＞0，當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0．

故x＝1時，g(x)取得最大值－e． 12分

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值和極值.

考點分析： 考點1：導數(shù)及其應用 試題屬性

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