Question

11．已知△ABC為等腰直角三角形，且CA=CB=3$\sqrt{2}$，M，N兩點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，且MN=2，則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍為（　　）

• A． [12，24]
• B． [8，12]
• C． [8，24]
• D． [8，17]

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)M（x，y），N（x+$\sqrt{2}$，y-$\sqrt{2}$），0≤x≤2$\sqrt{2}$．直線AB的方程為：x+y=3$\sqrt{2}$．可得$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=$2（x-\sqrt{2}）^{2}$+8，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)M（x，y），N（x+$\sqrt{2}$，y-$\sqrt{2}$），0≤x≤2$\sqrt{2}$．
直線AB的方程為：x+y=3$\sqrt{2}$．
則$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=$x（x+\sqrt{2}）$+y$（y-\sqrt{2}）$
=${x}^{2}+\sqrt{2}x$+$（3\sqrt{2}-x）$$（2\sqrt{2}-x）$
=2x²-4$\sqrt{2}$x+12
=$2（x-\sqrt{2}）^{2}$+8，
∵0≤x≤2$\sqrt{2}$．
∴當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$有最小值8．
當(dāng)x=2$\sqrt{2}$或0時(shí)，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$有最大值12．
∴$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$的取值范圍為[8，12]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線的方程、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．