Question

6．已知函數(shù) f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$，若關于x的不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且僅有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． $（-\frac{2}{3}，1）$
• B． $[{-\frac{2}{3}，-\frac{1}{2}}）∪（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}]$
• C． $（{-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}}）$
• D． $（{-\frac{2}{3}，\frac{1}{3}}）∪（\frac{1}{2}，\frac{2}{3}）$

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$的圖象，從而可得|x-1|＜|ax|，再作出函數(shù)y=|x-1|與函數(shù)y=|ax|的圖象，從而由排除法確定a的取值范圍．

解答 解：由題意，
作出函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{（x-1）}^3}（x≥1）}\\{{{（1-x）}^3}（{x＜1}）}\end{array}}$的圖象如下，

故不等式f（x）＜f（ax+1）可化為|x-1|＜|ax+1-1|，
即|x-1|＜|ax|；
作函數(shù)y=|x-1|與函數(shù)y=|ax|的圖象如下，

結合圖象可得，實數(shù)a的取值范圍應該關于原點對稱，
故排除A、D，
當a=0時，不等式f（x）＜f（ax+1）的解集中有且僅有一個整數(shù)1，故不正確；
故排除C；
故選：B．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應用及學生的作圖能力，同時考查了數(shù)形結合的思想應用，屬于中檔題．