Question

8．若不等式e^x≥kx-k對(duì)x＞1恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值是（　�。�

• A． e²
• B． e
• C． $\frac{1}{e}$
• D． 1

Answer 1

分析 不等式e^x≥kx-k對(duì)x＞1恒成立，即為k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$對(duì)x＞1恒成立，令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值，由恒成立思想即可得到k的最大值．

解答 解：不等式e^x≥kx-k對(duì)x＞1恒成立，即為
k≤$\frac{{e}^{x}}{x-1}$對(duì)x＞1恒成立，
令f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x-1}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}•（x-2）}{（x-1）^{2}}$，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=2處f（x）取得極小值，也為最小值，且為e²，
則有k≤e²．
則k的最大值為e²．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．