Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-8lnx，g（x）=-x²+14x
（1）若函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若F（x）=$\frac{1}{4}$[g（x）-f（x）]+m-$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{7x}{2}$在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）試判斷方程|-$\frac{1}{8}$f（x）+$\frac{1}{8}$x²-x|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$有無實(shí)數(shù)解．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，先求出x的范圍，再根據(jù)集合的關(guān)系求出a的范圍；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的在[$\frac{1}{e}$，e]上的極值和最值，即可得到結(jié)論；
（3）分別構(gòu)造函數(shù)，h（x）=-$\frac{1}{8}$f（x）+$\frac{1}{8}$x²-x=lnx-x，設(shè)φ（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，然后比較即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=2x-$\frac{8}{x}$=$\frac{2（x-2）（x+2）}{x}$，（x＞0），g′（x）=-2x+14，
∵函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）在區(qū)間（a，a+1）上均為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（x）≥0}\\{g′（x）≥0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，
解得2≤x≤7，
∴（a，a+1）⊆[2，7]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a+1≤7}\end{array}\right.$，
解得2≤a≤6．
故a的取值范圍為[2，6]
（2）F（x）=$\frac{1}{4}$[g（x）-f（x）]+m-$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{7x}{2}$=-x²+2lnx+m
則F′（x）=-2x+$\frac{2}{x}$=-$\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴由F′（x）=0，得x=1，
當(dāng)$\frac{1}{e}$＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)F（x）取得極大值g（1）=m-1，
F（$\frac{1}{e}$）=m-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，F(xiàn)（e）=m+2-e²，
F（e）-F（$\frac{1}{e}$）=4-e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$＜0，
則F（e）＜F（$\frac{1}{e}$），
∴F（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上最小值為F（e），
要使F（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{F（1）=m-1＞0}\\{F（\frac{1}{e}）=m-2-\frac{1}{{e}^{2}}≤0}\end{array}\right.$，
解得1＜m≤2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]；
（3）設(shè)h（x）=-$\frac{1}{8}$f（x）+$\frac{1}{8}$x²-x=lnx-x，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，x＞0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0．函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有最大值為h（1）=-1，
∴|-$\frac{1}{8}$f（x）+$\frac{1}{8}$x²-x|≥1，
再設(shè)φ（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$，
∴φ′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞e時(shí)，φ′（x）＜0．函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)有最大值為φ（e）=$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{2}$＜1，
∴方程|-$\frac{1}{8}$f（x）+$\frac{1}{8}$x²-x|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$無實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以最值問題以及函數(shù)零點(diǎn)存在的問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，化歸能力，屬于中檔題．