Question

【題目】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11．

(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值；

(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）30

【解析】試題分析：（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的的系數(shù),列出方程得到的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出的系數(shù)，將的關(guān)系代入得到關(guān)于的二次函數(shù)，配方求出最小值；（2）通過對(duì)分別賦值，兩式子相加求出展開式中的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.

試題解析：(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系數(shù)為C＋22C＝＋2n(n－1)

＝＋(11－m)＝2＋.

∵m∈N*，∴m＝5時(shí)，x2的系數(shù)取得最小值22，此時(shí)n＝3.

(2)由(1)知，當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，m＝5，n＝3.

∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.

設(shè)這時(shí)f(x)的展開式為f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝60，

故展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為30.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題. 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.