Question

3．已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且滿足條件以下條件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）的值
（2）求證：f（8）=3．
（3）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

Answer 1

分析 （1）令x=y=2，則f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
（2）由f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1⇒f（8）=3f（2），從而可證f（8）=3；
（3）由f（8）=3，f（x）＞3+f（x-2）⇒f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），利用f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，即可求得不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集

解答 解：（1）令x=y=2，則f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2；
（2）證明：由題意得：
f（8）=f（4×2）=f（4）+f（2）=f（2×2）+f（2）=f（2）+f（2）+f（2）=3f（2），
∴f（2）=1，
∴f（8）=3；                                            
（3）解：∵f（8）=3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞8x-16}\end{array}\right.$，
解得2＜x＜$\frac{16}{7}$，
∴不等式的解集是（2，$\frac{16}{7}$）．

點評 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查遞推關(guān)系與函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．