Question

17．在△ABC中，AB=4，AC=8，∠BAC=60°，延長CB到D，使BA=BD，當E點在線段AD上移動時，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則t=λ-μ的最大值是$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷三角形ABC是直角三角形，利用坐標法求出A，B，C，D的坐標，結(jié)合$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，即可找到λ和μ的關(guān)系，得到答案．

解答 解：∵AB=4，AC=8，∠BAC=60°，
∴三角形ABC是直角三角形，且BC=4$\sqrt{3}$，
∵BA=BD，∴BD=4，
將三角形ABC放入直角坐標系中，
則D（-4，0），B（0，0），A（0，4），C（4$\sqrt{3}$，0），
則$\overrightarrow{AD}$=（-4，-4），$\overrightarrow{AB}$=（0，-4），$\overrightarrow{AC}$=（4$\sqrt{3}$，-4），
設(shè)E（x，y），則$\overrightarrow{AE}$=（　�。�
設(shè)$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AD}$，t∈[0，1]，
則$\overrightarrow{AE}=t\overrightarrow{AD}$=t（-4，-4）=（-4t，-4t），
∵$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=λ（0，-4）+μ=（4$\sqrt{3}$，-4）=（4$\sqrt{3}$μ，-4λ-4μ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}μ=-4t}\\{-4λ-4μ=-4t}\end{array}\right.$，
即λ=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$t，μ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t
∴λ-μ=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{3}$t=$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$t，
∵t∈[0，1]
∴當t=1時，λ-μ取得最大值，最大值為$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{3+2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查平面向量的基本定理，即平面內(nèi)任一向量都可由任意兩不共線的向量唯一表示出來．建立坐標系，利用坐標法是解決本題的關(guān)鍵．