Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}+a，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2ax，（x≤2）}\\{\;}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 依題意，x＞2時(shí)，f（x）遞增，考慮x≤2時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答 解：依題意，x＞2時(shí)，f（x）遞增，
分情況討論：
①x≤2時(shí)，f（x）=-x²+2ax不是單調(diào)的，
對(duì)稱軸為x=a，則a＜2；
②x≤2時(shí)，f（x）=-x²+2ax是單調(diào)遞增，但f（x）在R上不單調(diào)．
即有a≥2且a+9＜-4+4a，解得a＞$\frac{13}{3}$．
綜合得：a的取值范圍是（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．
故答案為：（-∞，2）∪（$\frac{13}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性，注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．