Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}+1}$是定義在區(qū)間[-1，1]上的奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明；
（3）解不等式：f（5x-1）＜f（6x²）

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0求實數(shù)a的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷、證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性；
（3）不等式：f（5x-1）＜f（6x²），化為具體的不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，f（0）=a=0；
（2）f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，∴在區(qū)間[-1，1]上，f′（x）=$\frac{{x}^{2}+1-x•2x}{（{x}^{2}+1）^{2}}$≥0，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增；
（3）∵f（5x-1）＜f（6x²），函數(shù)f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增，
∴-1≤5x-1＜6x²≤1，
∴0≤x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式的解集為{x|0≤x＜$\frac{1}{3}$}．

點評 本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及解不等式，充分理解以上有關(guān)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵．