Question

5．在抽樣方法中，有放回抽樣與無放回抽樣中個(gè)體被抽到的概率是不同的，但當(dāng)總體的容量很大而抽取的樣本容量很小時(shí)，無放回抽樣可以近似看作有放回抽樣．現(xiàn)有一大批產(chǎn)品，采用隨機(jī)抽樣的方法一件一件抽取進(jìn)行檢驗(yàn)．若抽查的4件產(chǎn)品中未發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則停止檢查，并認(rèn)為該批產(chǎn)品合格；若在查到第4件或在此之前發(fā)現(xiàn)不合格產(chǎn)品，則也停止檢查，并認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．假定該批產(chǎn)品的不合格率為0.1，設(shè)檢查產(chǎn)品的件數(shù)為X．
（Ⅰ） 求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ） 通過上述隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行質(zhì)量檢查，求認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格的概率．

Answer 1

分析 （1）X可能取得所有可能值，得出概率，列出分布列．
（2）認(rèn)為該批產(chǎn)品合格的概率是$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}=（\frac{9}{10}）^{4}$，從而得出不合格的概率．

解答 解 （1）由題意得，X的可能值為1，2，3，4，則有：
$P（X=1）=\frac{1}{10}$，$P（X=2）=\frac{9}{10}×\frac{1}{10}=\frac{9}{100}$，
$P（X=3）=\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{1}{10}=\frac{21}{1000}$，$P（X=4）=\frac{729}{1000}$，
隨機(jī)變量X的分布列分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{100}$	$\frac{21}{1000}$	$\frac{729}{1000}$

∴EX=$1×\frac{1}{10}+2×\frac{9}{100}+3×\frac{21}{1000}+\frac{729}{1000}×4$=3.439．
（2）認(rèn)為該批產(chǎn)品合格的概率是$\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}×\frac{9}{10}=（\frac{9}{10}）^{4}$，
從而該批產(chǎn)品不合格的概率是P=1-$（\frac{9}{10}）^{4}$=0.3439．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查隨機(jī)變量的分布列和概率求法，屬于中檔題型．