Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項前S_n=-$\frac{1}{2}$n²+kn（其中k∈N₊），且a₁=$\frac{7}{2}$．
（1）求k的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{9+2a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁=-$\frac{1}{2}$×1²+k=a₁=$\frac{7}{2}$得k=4；
（2）由（1）知S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，從而求通項公式；
（3）化簡b_n=9+2a_n=9+2（-n+$\frac{9}{2}$）=18-2n；從而求前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意得，
S₁=-$\frac{1}{2}$×1²+k=a₁=$\frac{7}{2}$，
解得，k=4；
（2）由（1）知S_n=-$\frac{1}{2}$n²+4n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-$\frac{1}{2}$n²+4n）-（-$\frac{1}{2}$（n-1）²+4（n-1））
=-n+$\frac{9}{2}$；
a₁=$\frac{7}{2}$也滿足a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
故數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=-n+$\frac{9}{2}$；
（3）令b_n=9+2a_n=9+2（-n+$\frac{9}{2}$）=18-2n；
故T_n=$\frac{16+18-2n}{2}$n=-n²+17n．

點評 本題考查了數(shù)列的前n項和的求法及通項公式的求法，屬于基礎題．