Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x（2-x）．
（1）求f（0）的值；
（2）求當x＜0時，f（x）的表達式；
（3）寫出f（x）的表達式；
（4）作出f（x）的圖象；
（5）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義知，計算f（-1）=-f（1）；
（2）由x＜0得-x＞0，計算f（-x），再由奇函數(shù)f（-x）=-f（x），得f（x）即x＜0時f（x）；
（3）由（1）（2），可得f（x）的表達式；
（4）根據(jù)（3）作出f（x）的圖象；
（5）由圖象指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）當x＜0時，有-x＞0，∴f（-x）=（-x）（2+x）=-x（2+x），
又∵f（-x）=-f（x），∴f（x）=x（2+x），即x＜0，f（x）=x（2+x）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（2+x），x≤0}\\{x（2-x），x＞0}\end{array}\right.$；
（4）圖象如圖所示；

（5）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的圖象，屬于中檔題．