Question

1．下列四個(gè)命題中正確的是②③
①sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$的最小值是4
②若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε
③若函數(shù)f（x）=$\sqrt{{3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1}$的定義域是R，則a的取值范圍是[-1，0]
④過直線y=x上的一點(diǎn)做圓（x-5）²+（y-1）²=3的兩條切線l₁，l₂，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí)，他們之間的夾角為90°．

Answer 1

分析 換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域判斷①；利用絕對(duì)值的不等式判斷②；由函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集求出a的范圍判斷③；數(shù)形結(jié)合求解得到l₁，l₂的夾角小于90°說明④錯(cuò)誤．

解答 解：①令t=sin²x∈（0，1]，則sin²x+$\frac{4}{si{n}^{2}x}$=$t+\frac{4}{t}$∈[5，+∞），①錯(cuò)誤；
②由|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，得|x-y|=|（x-2）-（y-2）|＜|x-2|+|y-2|=2ε，②正確；
③由函數(shù)f（x）=$\sqrt{{3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1}$的定義域是R，可知${3}^{{x}^{2}-2ax-a}-1≥0$對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，
即${3}^{{x}^{2}-2ax-a}≥1={3}^{0}$，∴x²-2ax-a≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則△=（-2a）²+4a≤0，即a的取值范圍是[-1，0]，③正確；
④如圖，過直線y=x上的一點(diǎn)做圓（x-5）²+（y-1）²=3的兩條切線l₁，l₂，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于y=x對(duì)稱時(shí)，
圓心M（5，1）到直線x-y=0的距離為MP=$\frac{|5-1|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，半徑MA=$\sqrt{3}$，
∴$sin∠MPA=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴l(xiāng)₁，l₂之間的夾角小于90°，④錯(cuò)誤．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了基本不等式的用法，考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬中檔題．