Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，其中θ∈R，那么g（θ）=f′（1）的取值范圍是[-2，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意先求出f（x）的導數(shù)f′（x），令x=1求出f′（1）即得到g（θ），利用三角函數(shù)誘導公式轉(zhuǎn)化成正弦函數(shù)求出最值得到g（θ）的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²sinθ+$\sqrt{3}$xcosθ，則f′（x）=xsinθ+$\sqrt{3}$cosθ，
當x=1時，g（θ）=f′（1）=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=2（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）=2（cos$\frac{π}{3}$sinθ+sin$\frac{π}{3}$cosθ）=2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∵θ∈R，當θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$時正弦函數(shù)g（θ）達到最大，最大值等于2；
當θ+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$，即θ=-$\frac{5π}{6}$時，正弦函數(shù)g（θ）達到最小，最小值等于-2；
∴g（θ）的取值范圍為[-2，2]；
故答案為[-2，2]．

點評 本題考查學生求函數(shù)導數(shù)的能力，同時要會運用三角函數(shù)的誘導公式以及正弦函數(shù)求最大值的方法．