Question

18．用數(shù)學(xué)歸納法證明（1+x）ⁿ＞1+nx，這里x＞-1且x≠0，n∈N^*且n≥2．

Answer 1

分析 （1）驗(yàn)證當(dāng)n=2時，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，由數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=k+1時不等式也成立即可．

解答 證明：（1）當(dāng)n=2時，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
∵x²＞0，∴左邊＞右邊，原不等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即（1+x）^k＞1+kx，
則當(dāng)n=k+1時，∵x＞-1，∴1+x＞0，
在不等式（1+x）^k＞1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）＞（1+kx）•（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
∴（1+x）^k+1＞1+（k+1）x．即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．
綜合（1）（2）可得對一切正整數(shù)n，不等式都成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬中檔題．