Question

20．在直角坐標系xOy中，直線l的方程是y=8，圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l和圓C的極坐標方程；
（2）射線OM：θ=α（其中$0＜α＜\frac{π}{2}$）與圓C交于O、P兩點，與直線l交于點M，射線ON：$θ=α+\frac{π}{2}$與圓C交于O、Q兩點，與直線l交于點N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值；
（3）在（2）的條件下，求三角形OMN的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化簡．
（2）由（1）可得：$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{4sin（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的方程是y=8，可得極坐標方程：ρsinθ=8．
圓C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），化為直角坐標方程：x²+（y-2）²=4，展開為x²+y²-4y=0，化為極坐標方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）由（1）可得：$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{4sin（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{4}$sin²αcos²α=$\frac{1}{16}si{n}^{2}2α$≤$\frac{1}{16}$，當且僅當α=$\frac{π}{4}$時取等號．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值為$\frac{1}{16}$．
（3）設(shè)直角三角形OMN的內(nèi)切圓圓心C（x，y），半徑為r．
則8-y=r，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$（8-y），
∴（y-16）²-x²=128（0＜y＜8）．
∴三角形OMN的內(nèi)切圓圓心的軌跡方程為（y-16）²-x²=128（0＜y＜8）．

點評 本題考查了極坐標方程與直角坐標方程的互化、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的方程、參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．