Question

10．二手車經銷商小王對其所經營的某一型號二手汽車的使用年數x（0＜x≤10）與銷售價格y（單位：萬元/輛）進行整理，得到如表的對應數據：

使用年數	2	4	6	8	10
售價	16	13	9.5	7	4.5

（Ⅰ）試求y關于x的回歸直線方程；（參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}^{2}}_{i}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$）
（Ⅱ）已知每輛該型號汽車的收購價格為w=0.05x²-1.75x+17.2萬元，根據（Ⅰ）中所求的回歸方程，預測x為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數據計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，即可寫出回歸直線方程；
（Ⅱ）寫出利潤函數z=y-w，利用二次函數的圖象與性質求出x=3時z取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由表中數據得，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，
由最小二乘法求得
$\stackrel{∧}$=$\frac{2×16+4×13+6×9.5+8×7+10×4.5-5×6×10}{{2}^{2}{+4}^{2}{+6}^{2}{+8}^{2}{+10}^{2}-5{×6}^{2}}$=-1.45，
$\stackrel{∧}{a}$=10-（-1.45）×6=18.7，
所以y關于x的回歸直線方程為y=-1.45x+18.7；
（Ⅱ）根據題意，利潤函數為
z=y-w=（-1.45x+18.7）-（0.05x²-1.75x+17.2）=-0.05x²+0.3x+1.5，
所以，當x=-$\frac{0.3}{2×（-0.05）}$=3時，二次函數z取得最大值；
即預測x=3時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，也考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．