Question

12．設數列{a_n}的前n項和為S_n．且S₁=2，S_n+1=2S_n+2（n∈N^*），b_n=S_n+2．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$（n∈N^*），求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）易知b₁=S₁+2=4，由S_n+1=2S_n+2可得b_n+1=2b_n，從而證明；
（2）由（1）知S_n=2ⁿ⁺¹-2，從而討論求數列的通項公式；
（3）化簡c_n=n-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，從而拆項求其和．

解答 解：（1）證明：b₁=S₁+2=4，
∵S_n+1=2S_n+2，∴S_n+1+2=2S_n+4=2（S_n+2），
∴b_n+1=2b_n，
故數列{b_n}是以4為首項，2為公比的等比數列；
（2）由（1）知，b_n=S_n+2=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故S_n=2ⁿ⁺¹-2，
當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
當n=1時上式也成立，
故a_n=2ⁿ；
（3）c_n=$\frac{{a}_{1}-1}{2}$+$\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}-1}{{2}^{n}}$=$\frac{2-1}{2}$+$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$
=n-（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故T_n=0+$\frac{1}{2}$+（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+…+（n-1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{0+n-1}{2}$•n+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1}{2}$n（n-1）+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了數列的性質的判斷與應用，同時考查了分類討論的思想應用及拆項法的應用．