Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）求f（$\frac{π}{3}$-x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得f（x）的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程．
（3）先求出f（$\frac{π}{3}$-x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得f（$\frac{π}{3}$-x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），它的最小正周期為 $\frac{2π}{\frac{1}{3}}$=6π，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，可得函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為 x=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
（2）f（$\frac{π}{3}$-x）=$\frac{1}{2}$sin[$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{3}$-x）-$\frac{π}{4}$]=$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{12}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得4kπ-$\frac{7π}{6}$≤x≤4kπ+$\frac{5π}{6}$，
故函數(shù)f（$\frac{π}{3}$-x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ-$\frac{7π}{6}$，4kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．