Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BCC₁B₁是矩形，截面A₁BC是等邊三角形．
（Ⅰ）求證：AB=AC；
（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高為1，求C₁點(diǎn)到截面A₁BC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中點(diǎn)O，連OA，OA₁．證明BC⊥平面A₁OA，即可證明：AB=AC；
（Ⅱ）利用等體積法，即可求C₁點(diǎn)到截面A₁BC的距離．

解答 （Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)O，連OA，OA₁．
因?yàn)閭?cè)面BCC₁B₁是矩形，所以BC⊥BB₁，BC⊥AA₁，
因?yàn)榻孛鍭₁BC是等邊三角形，所以BC⊥OA₁，
所以BC⊥平面A₁OA，BC⊥OA，因此，AB=AC．…（5分）
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)A到截面A₁BC的距離為d，
由V_A-A1BC=V_A1-ABC得S_△A1BC×d=S_△ABC×1，
得BC×OA₁×d=BC×OA×1，得d=$\frac{OA}{OA1}$．
由AB⊥AC，AB=AC得OA=$\frac{1}{2}$BC，
又OA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，故d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C₁到截面A₁BC的距離相等，
所以點(diǎn)C₁到截面A₁BC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查等體積法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．