Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a是奇函數(shù)
（1）求實數(shù)a的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可求實數(shù)a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$+a的定義域為（-∞，+∞），
且f（x）是奇函數(shù)，
則$\frac{2}{1+1}$+a=0，即a=-1．
（2）∵a=-1．
∴f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，
設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$+1=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$＞0，
則${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
即函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．