Question

15．對于?x₁$∈（0，\frac{1}{2}]$，?x₂$∈（0，\frac{1}{2}]$，4${\;}^{{x}_{1}}$＜log_ax₂恒成立，則a取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 先求出4${\;}^{{x}_{1}}$的取值范圍，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化最值問題進(jìn)行求解即可．

解答 解：?x₁$∈（0，\frac{1}{2}]$，0＜4${\;}^{{x}_{1}}$≤2，
即4${\;}^{{x}_{1}}$＜log_ax₂恒成立等價(jià)為log_ax₂＞2恒成立，
∵x₂$∈（0，\frac{1}{2}]$，
∴0＜a＜1，且log_a$\frac{1}{2}$＞2，
即a²＞$\frac{1}{2}$，
則a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍），
則$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立的求解，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵．