Question

5．求$\sqrt{{x}^{2}+2x+5}$-$\sqrt{{x}^{2}+6x+25}$的值域．

Answer 1

分析 y可以看作點(diǎn)P（x，0）到A（-1，2）和B（-3，4）兩點(diǎn)的距離之差|PA|-|PB|，數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：化簡(jiǎn)可得y=$\sqrt{（x+1）^{2}+（2-0）^{2}}$-$\sqrt{（x+3）^{2}+（4-0）^{2}}$，
y可以看作點(diǎn)P（x，0）到A（-1，2）和B（-3，4）兩點(diǎn)的距離之差|PA|-|PB|，
由三角形兩邊之差小于第三邊可得|PB|-|PA|＜|AB|，
當(dāng)且僅當(dāng)PAB共線時(shí)，|PB|-|PA|=|AB|=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（2-4）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|PB|-|PA|≤2$\sqrt{2}$，∴|PA|-|PB|≥-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)P向x軸的負(fù)向無限接近時(shí)，|PA|-|PB|趨向于2，
∴函數(shù)的值域?yàn)閇-2$\sqrt{2}$，2）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．