Question

10．已知y=f（x）為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）若y=f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，判斷（-∞，0）上的單調(diào)性并證明；
（2）若x＞0時，f（x）=x²+sinx+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用作差法．我們可以任取區(qū)間上滿足-∞＜x₁＜x₂＜0的兩個實數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，易判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．
（2）先求f（0）=0，再設x＜0，由奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）=-f（-x），利用x＞0時的表達式求出x＜0時函數(shù)的表達式．

解答 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，0），且-∞＜x₁＜x₂＜0
則0＜-x₂＜-x₁≤+∞
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x₂）=-f（x₂），f（-x₁）=-f（x₁）
∴f（x₂）＜f（x₁），即f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（2）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x），
設x＜0，則-x＞0，
∴f（-x）=x²-sinx+1，
∴f（x）=-f（-x）=-x²+sinx-1，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+sinx+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+sinx-1，x＜0}\end{array}\right.$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查奇函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，關鍵是利用原點兩側(cè)的函數(shù)表達式之間的關系解題，屬于中檔題．