Question

13．某校高一（1）班的課外生物研究小組通過互聯(lián)網(wǎng)上獲知，某種珍稀植物的種子在一定條件下發(fā)芽成功率為$\frac{1}{3}$，小組依據(jù)網(wǎng)上介紹的方法分小組進行驗證性實驗（每次實驗相互獨立）．
（1）第一小組做了5種子的發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），求5次實驗至少有3次成功的概率；
（2）第二小組在老師帶領下做了若干次發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），如果在一次實驗中，種子發(fā)芽成功則停止實驗，否則將繼續(xù)進行下去，直到種子發(fā)芽成功為止，而該小組能提供實驗的種子只有n顆（n≥5，n∈N⁺），求第二個小組所做的實驗次數(shù)ξ的概率分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由題設可知這5次實驗即為5次獨立重復試驗，由此能求出至少3次成功的概率．
（2）由題意得ξ的可能取值為1，2，3，…，n，分別求出相應的概率，由此求出實驗次數(shù)ξ的概率分布列和Eξ，結構錯位相減求和法能求出數(shù)學期望．

解答 解：（1）由題設可知這5次實驗即為5次獨立重復試驗，則至少3次成功的概率：
p=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（1-\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{5}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}（1-\frac{1}{3}）$+${C}_{5}^{5}（\frac{1}{3}）^{5}$=$\frac{17}{81}$．
（2）由題意得ξ的可能取值為1，2，3，…，n，

ξ	1	2	3	4	…	n-1	n
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）2×$\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）3×$\frac{1}{3}$	…	$（\frac{2}{3}）^{n-2}×\frac{1}{3}$	$（\frac{2}{3}）^{n-1}$

Eξ=$1×\frac{1}{3}+2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}+…+$$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-2}×\frac{1}{3}+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1}{3}[1+2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+（n-1）×（{\frac{2}{3}）}^{n-2}]$+$n×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
令S_n=1+2×$\frac{2}{3}$+3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-2}$，
則$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$1×\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}+…+（n-2）×（\frac{2}{3}）^{n-2}$+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
兩式相減，得：
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$1+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-2}$-（n-1）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n-1}}{1-\frac{2}{3}}$-（n-1）（$\frac{2}{3}$）^n-1
=3-（n+2）（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴${S}_{n}=9-3（n+2）•{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$．
∴Eξ=$\frac{1}{3}{S}_{n}+n（\frac{2}{3}）^{n-1}$=3-（n+2）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+n（$\frac{2}{3}$）^n-1=3-2（$\frac{2}{3}$）^n-1．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，難度大，綜合性強，對數(shù)學思維能力要求高，解題時要注意錯位相減法的合理運用．