Question

18．求函數(shù)y=x²+$\frac{4（x-4）^{2}}{（x-2）^{2}}$的最小值．

Answer 1

分析 將x=（x-2）+2，x-4=（x-2）-2代入函數(shù)式，展開(kāi)，再令t=x-2-$\frac{4}{x-2}$，則y=t²+4t+16，配方，由二次函數(shù)的最值求法，可得最小值．

解答 解：函數(shù)y=x²+$\frac{4（x-4）^{2}}{（x-2）^{2}}$
=（x-2）²+4（x-2）+4+$\frac{4（x-2）^{2}+16-16（x-2）}{（x-2）^{2}}$
=（x-2）²+$\frac{16}{（x-2）^{2}}$+4（x-2）-$\frac{16}{x-2}$+8
令t=x-2-$\frac{4}{x-2}$，則
y=t²+4t+16=（t+2）²+12，
當(dāng)t=-2即x=$\frac{4}{x-2}$，即有x=1±$\sqrt{5}$時(shí)，取得最小值，
且為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查換元法和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．