Question

已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面，且，是的中點(diǎn).

⑴求證：直線平面；

⑵⑵若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

⑴見(jiàn)解析;⑵1

【解析】

試題分析：方法一:幾何法證明求角.

⑴要證直線平面,需要在平面內(nèi)找到一條與平行的直線.顯然不容易找到;故考慮利用面面平行退出線面平行, 取的中點(diǎn),構(gòu)造平面,根據(jù) ,∥可證.

⑵要求二面角,方法一:找到二面角的平面角,角的頂點(diǎn)在棱,角的兩邊在兩個(gè)半平面內(nèi)中,并且角的兩邊與棱垂直.取取的中點(diǎn),連接就是所求角.

方法二:建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量證明,求角.

試題解析：

⑴證明：取的中點(diǎn)，則，故平面;

又四邊形正方形，∴∥，故∥平面;

∴平面平面,

∴平面.

⑵由底面，得底面;

則與平面所成的角為;

∴, ∴和都是邊長(zhǎng)為正三角形,

取的中點(diǎn)，則，且 .

∴為二面角的平面角;在中　，，

∴

∴二面角的余弦值

方法二：⑴設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720091536248294/SYS201411172009241128630179_DA/SYS201411172009241128630179_DA.046.png">，，，

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，

則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，，，，，;

∴，，∴，∴，∴平面;

⑵由底面及，得與平面所成角的大小為;

∴,∴,，，;

取的中點(diǎn)，則因，∴;

則，且,∴為二面角的平面角;

∵;∴二面角的余弦值

考點(diǎn)：利用面面平行證明線面平行;尋找二面角的平面角,利用余弦定理求角;建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量證明線面平行并求二面角.