Question

1．已知定點(diǎn)F（3，0）和動(dòng)點(diǎn)P（x，y），H為PF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足|OH|-|HF|=2．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F作直線l與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（2，0）．連接AC，BC與直線x=$\frac{4}{3}$分別交于點(diǎn)M，N．試證明：以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F．

Answer 1

分析 （1）取F′（-3，0），連接PF′，可得|PF′|-|PF|=4，由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，即可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線l方程為x=ty+3，代入雙曲線方程，利用三點(diǎn)共線，求出M，N的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，取F′（-3，0），連接PF′．
∵|OH|-|HF|=2，
∴|PF′|-|PF|=4       
由雙曲線定義知，點(diǎn)P的軌跡是以F′，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
∴a=2，c=3，
∴b=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$
∴P的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1（x＞0）$…（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（$\frac{4}{3}$，m），N（$\frac{4}{3}$，n），
直線l方程為x=ty+3，代入雙曲線方程整理得：（5t²-4）y²+30ty+25=0
∴y₁+y₂=-$\frac{30t}{5{t}^{2}-4}$，y₁y₂=$\frac{25}{5{t}^{2}-4}$…（6分）
∵A，C，M三點(diǎn)共線，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}=\frac{m}{\frac{4}{3}-2}$，
∴m=-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$       
同理n=-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$
∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（$\frac{4}{3}$-3，-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$）•（$\frac{4}{3}$-3，-$\frac{2}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$）
=$\frac{25}{9}$+$\frac{4}{9}$•$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=$\frac{25}{9}$+$\frac{4}{9}$•$\frac{25}{25{t}^{2}-30{t}^{2}+5{t}^{2}-4}$=0
∴FM⊥FN，
即∠MFN=90°
∴以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)F…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．