Question

15．如圖，已知四邊形AA₁C₁C和AA₁B₁B都是菱形，平面AA₁B₁B和平面AA₁C₁C互相垂直，且∠ACC₁=∠BAA₁=60°，AA₁=2
（Ⅰ）求證：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求四面體A-CC₁B₁的體積；
（Ⅲ）求二面角C-AB-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AA₁的中點為O，連接OB，通過已知條件及線面垂直的判定定理即得結(jié)論；
（2）利用三角形CC₁B₁和CC₁B面積相等，通過體積公式計算即可；
（3）以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A₁，OC₁，OB為x軸，y軸，z軸建立坐標系，利用平方關(guān)系，通過計算平面ABC的法向量與平面ABC₁的法向量的夾角的余弦值即可．

解答 （1）證明：設(shè)AA₁的中點為O，連接OB，
∵四邊形AA₁C₁C和AA₁B₁B都是菱形，且∠ACC₁=∠BAA₁=60°，
∴三角形AA₁B和三角形AA₁C₁都是等邊三角形，
所以O(shè)B⊥OC₁，
又∵OB∩OC₁=O，∴AA₁⊥平面OBC₁，
所以AA₁⊥BC₁；
（2）解：∵三角形CC₁B₁和CC₁B面積相等，
∴${V_{A-C{C_1}{B_1}}}$=${V_{A-C{C_1}{B_{\;}}}}={V_{B-C{C_1}{A_{\;}}}}=\frac{1}{3}{S_{AC{C_1}}}OB=1$，
∴四面體A-CC₁B₁的體積為1；
（3）解：由（1）知AA₁⊥OB，
又∵平面AA₁B₁B和平面AA₁C₁C互相垂直，
∴OB⊥平面AA₁C₁C，
∴OA₁，OC₁，OB，三條直線兩兩垂直，
以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A₁，OC₁，OB為x軸，y軸，z軸建立坐標系如圖，
則$A（-1，0，0），B（0，0，\sqrt{3}），C（-2，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（0，\sqrt{3}，0）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面ABC，ABC₁的法向量$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的坐標分別為（a，b，c），（a₁，b₁，c₁），
由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AC}$，可得$a+\sqrt{3}c=0，-a+\sqrt{3}b=0$，
所以可取$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，1，-1）$，
同理可取$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，-1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{3}{5}$，
所以二面角C-AB-C₁的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的計算，考查四面體的體積公式，考查空間想象能力，計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．