Question

7．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱垂直于底面，所有棱長都相等，若該三棱柱的頂點都在球O的表面上，且球O的表面積為7π，則三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 通過球的內接體，說明幾何體的中心是球的直徑，由球的表面積求出球的半徑，設出三棱柱的底面邊長，通過解直角三角形求得a，然后由棱柱的體積公式得答案．

解答 解：如圖，

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，6個頂點都在球O的球面上，
∴三棱柱為正三棱柱，且其中心為球的球心，設為O，
再設球的半徑為r，由球O的表面積為7π，得4πr²=7π，∴$r=\frac{\sqrt{7}}{2}$．
設三棱柱的底面邊長為a，則上底面所在圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，且球心O到上底面中心H的距離OH=$\frac{a}{2}$，
∴${r}^{2}=（\frac{a}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，即r=$\frac{\sqrt{21}}{6}a$，
∴a=$\sqrt{3}$．
則三棱柱的底面積為S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}×\sqrt{3}=\frac{9}{4}$．
故答案為：$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查球的內接體與球的關系，球的半徑的求解，考查計算能力，是中檔題．