Question

4．已知實數(shù)x，y滿足x²+y²≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是15．

Answer 1

分析 由題意可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，去絕對值后得到目標函數(shù)z=-3x-4y+10，然后結合圓心到直線的距離求得|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值．

解答 解：如圖，

由x²+y²≤1，
可得2x+y-4＜0，6-x-3y＞0，
則|2x+y-4|+|6-x-3y|=-2x-y+4+6-x-3y=-3x-4y+10，
令z=-3x-4y+10，得$y=-\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$，
如圖，

要使z=-3x-4y+10最大，則直線$y=-\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}+\frac{5}{2}$在y軸上的截距最小，
由z=-3x-4y+10，得3x+4y+z-10=0．
則$\frac{|z-10|}{5}=1$，即z=15或z=5．
由題意可得z的最大值為15．
故答案為：15．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．